title: 9. 生成学习算法的例子 date: 2018-06-29 21:10:00 categories: 生成学习算法 tags: [生成学习算法, 拉普拉斯平滑] mathjax: true
例一：高斯判别分析和logistic函数
我们来看一个例子，对于一个高斯判别分析问题，根据贝叶斯： $$ \begin{align} p(y=1|x) &= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x)} \
&= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x|y=0)p(y=0)+p(x|y=1)p(y=1)} \end{align} $$ 在这里，我们提出几个假设：
- $p(y)$是均匀分布的，也就是$p(y=1)=p(y=0)$
- $x$的条件概率分布（$p(x|y=0)$和$p(x|y=1)$）满足高斯分布。
考虑二维的情况：
蓝色数据表达的是$p(x|y=0)$的分布，红色数据表达的是$p(x|y=1)$的分布，两条蓝色和红色的曲线分别是它们的概率密度曲线。
而灰色的曲线则表示了$p(y=1|x)$的概率密度曲线。
假设$p(x|y=0) \sim N(\mu_0, \sigma_0)$，$p(x|y=1) \sim N(\mu_1, \sigma_1)$，而$p(y)$均匀分布那么： $$ \begin{align} p(y=1|x) &= \frac{N(\mu_0,\sigma_0)}{N(\mu_0,\sigma_0)+N(\mu_1,\sigma_1)} \\ &= \cdots \
&= \frac{1}{1+\frac{\sigma_0}{\sigma_1}exp(2\sigma_12(x-\mu_0)2-2\sigma_02(x-\mu_1)2} \end{align} $$ 事实上，这条曲线跟我们之前见过的logistic曲线非常像，特别是当我们假设$\sigma_0=\sigma_1$的时候，就是一条logistic曲线。
我们有如下的推广结论： $$ {\begin{cases} p(x|y=1) \sim Exp Family(\eta_1) \
p(x|y=0) \sim Exp Family(\eta_0) \end{cases}} \Rightarrow p(y=1|x)是logistic函数 $$ 但这个命题的逆命题并不成立，故而我们知道，logistic所需要的假设更少（无需假设$x$的条件概率分布），鲁棒性更强。而生成函数因为对数据的分布做出了假设，所以需要的数据量会少于logstic回归，我们需要在两者之间进行权衡。
例二：垃圾邮件分类（1）
这里我们会用朴素贝叶斯（Naive Bayes）来解决垃圾邮件分类问题（$y\in \lbrace 0, 1 \rbrace$）。
首先对邮件进行建模，生成特征向量如下： $$ x= \begin{bmatrix} 0 \
0 \
0 \
\vdots \
1 \
\vdots \end{bmatrix} \begin{matrix} a \
advark \
ausworth \
\vdots \
buy \
\vdots \end{matrix} $$ 这是一个类似于词频向量的特征向量，我们有一个50000个词的词典，如果邮件中出现了某个词汇，那么其在向量中对应的位置就会被标记为1，否则为0。
我们的目标是获取，垃圾邮件和非垃圾邮件的特征分别是怎么样的，也即$p(x|y)$。$x={\lbrace 0, 1 \rbrace}n, y \in \lbrace 0, 1 \rbrace$，这里我们的词典中词汇数量是50000，所以$n=50000$，特征向量$x$会有$2{50000}$种可能，需要$2^{50000}-1$个参数。
我们假设$x_i|y$之间相互独立(虽然假设各个单词的出现概率相互独立不是很合理，但是即便这样，朴素贝叶斯的效果依旧不错)，根据朴素贝叶斯，我们得到： $$ p(x_1, x_2, \ldots, x_{50000}|y)=p(x_1|y)p(x_2|y) \cdots p(x_{50000}|y) $$ 单独观察$p(x_j|y=1)$： $$ p(x_j|y=1) = p(x_j=1|y=1){x_j}p(x_j=0|y=1){1-x_j} $$ 给定三个参数： $$ \begin{align} \phi_{j|y=1} &= p(x_j=1|y=1) \
\phi_{j|y=0} &= p(x_j=1|y=0) \
\phi_y &= p(y = 1) \end{align} $$ 故： $$ \begin{align} p(x_j|y=1) &= \phi_{j|y=1}{x_j}(\phi_y - \phi_{j|y=1}){1-x_j}\
p(x_j|y=0) &= \phi_{j|y=0}{x_j}(1-\phi_y + \phi_{j|y=0}){1-x_j} \
p(x_j|y) &= p(x_j|y=1)yp(x_j|y=0){1-y} \
p(y) &= \phi_yy(1-\phi_y){1-y} \end{align} $$ 按照上个博客8. 生成学习算法的概念中所述，我们会选用联合概率分布的极大似然来导出最优解： $$ l(\phi_y,\phi_{j|y=1},\phi_{j|y=0}=\prod_{i=1}mp(x{(i)},y{(i)})=\prod_{i=1}mp(x{(i)}|y{(i)})p(y^{(i)}) $$
可以解得： $$ \begin{align} \phi_{j|y=1} &= \frac{\sum_{i=1}m1\lbrace x_j{(i)}=1, y{(i)}=1 \rbrace}{\sum_{i=1}m1\lbrace y{(i)}=1 \rbrace} = \frac{统计所有包含词语j的垃圾邮件的数量}{垃圾邮件的总数}\
\phi_{j|y=0} &= \frac{\sum_{i=1}m1\lbrace x_j{(i)}=1, y{(i)}=0 \rbrace}{\sum_{i=1}m1\lbrace y{(i)}=0 \rbrace} = \frac{统计所有包含词语j的非垃圾邮件的数量}{非垃圾邮件的总数} \
\phi_y &= \frac{\sum_{i=1}m1\lbrace y{(i)}=1 \rbrace}{m} = \frac{垃圾邮件的数量}{邮件的总数} \end{align} $$ 通过以上的公式，我们已经可以完全推得$p(x_1, x_2, \ldots, x_{50000}|y)$。
Laplace平滑
假设，训练集中，我们重来没有碰到过"NIPS"这个词汇，假设我们词典中包含这个词，位置是30000，也就是说： $$ \begin{align} p(x_{30000}=1|y=1) &= 0\
p(x_{30000}=0|y=1) &= 0 \end{align} \
\Downarrow \
p(x|y=1) =\prod_{i=1}{50000}p(x_i|y=1)=0 \
p(x|y=0) =\prod_{i=1}{50000}p(x_i|y=0)=0 $$ 故而在分类垃圾邮件时： $$ \begin{align} p(y=1|x) &= \frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x)} \
&=\frac{p(x|y=1)p(y=1)}{p(x|y=0)p(y=0)+p(x|y=1)p(y=1)} \
&= \frac{0}{0+0} \end{align} $$ 所以，我们提出$p(x_{30000}=1|y=1) = 0$这样的假设不够好。
Laplace平滑就是来帮助解决这个问题的。
举例而言，在计算： $$ \phi_y=p(y=1)=\frac{\text{numof(1)}}{\text{numof(0)}+\text{numof(1)}} $$ 其中，$\text{numof(1)}$表示的是，被分类为1的训练集中数据个数。
在Laplace平滑中，我们会采取如下策略: $$ \phi_y=p(y=1)=\frac{\text{numof(1)}+1}{\text{numof(0)}+1+\text{numof(1)}+1} $$ 比如，A球队在之前的五场比赛里面都输了，我们预测下一场比赛赢的概率： $$ p(y=1)=\frac{0+1}{0+1+5+1}=\frac{1}{7} $$ 而不是简单的认为（没有Laplace平滑）是0。
推广而言，在多分类问题中，$y\in\lbrace1, \ldots, k \rbrace$，那么： $$ p(y=j) = \frac{\sum_{i=1}m1\lbrace y{(i)} = j \rbrace+1}{m+k} $$
例三：垃圾邮件分类（2）
之前的垃圾分类模型里面，我们对邮件提取的特征向量是： $$ x=[1,0,0,\ldots,1,\ldots]^T $$ 这种模型，我们称之为多元伯努利事件模型（Multivariate Bernoulli Event Model）。
现在，我们换一种特征向量提取方式，将邮件的特征向量表示为： $$ x=[x_1,x_2,\ldots,x_j,\ldots]^T $$ $x_j$表示词汇$j$在邮件中出现的次数。上述的特征向量也就是词频向量了。这种模型，我们称为多项式事件模型（Multinomial Event Model）。
对联合概率分布$p(x,y)$进行极大似然估计，得到如下的参数： $$ \begin{align} \phi_{k|y=1} &= p(x_j=k|y=1) = \frac{C_{x=k}+1}{C_{y=1}+n} \
\phi_{k|y=0} &=p(x_j=k|y=0) = \frac{C_{x=k}+1}{C_{y=0}+n} \
\phi_{y} &= p(y=1) = \frac{C_{y=1}+1}{C_{y=1}+1+C_{y=0}+1} \end{align} $$ 其中：
$n$表示词典中词汇的数量，也就是特征向量的长度； $$ C_{x=k}=\sum_{i=1}m(1\lbrace y{(i)}=1 \rbrace \sum_{j=1}{n_i}1 \lbrace x_j{(i)} = k \rbrace) $$ 表示在训练集中，所有垃圾邮件中词汇$k$出现的次数（并不是邮件的次数，而是词汇的次数）； $$ C_{y=1}=\sum_{i=1}n(1\lbrace y{(i)} = 1 \rbrace \cdot n_i) $$ 表示训练集中垃圾邮件的所有词汇总长； $$ C_{y=0}=\sum_{i=1}n(1\lbrace y{(i)} = 0 \rbrace \cdot n_i) $$ 表示训练集中非垃圾邮件的所有词汇总长；
