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A03: compute-pi

# A03: compute-pi

目標

學習透過離散微積分求圓周率
著手透過 SIMD 指令作效能最佳化

複習黎曼積分

如果你真的忘記微積分，趕快透過均一教育平臺學習「微積分概論」。

N 越大（切的越細），數值越精確。

baseline 版本

根據上述數學式轉換成 baseline.c
- 修改變數，將傳入的參數改為 N，比較直覺
- N 越大，dt 越小，切割越細

double computePi_v1(size_t N)
{
    double pi = 0.0;
    double dt = 1.0 / N; // dt = (b-a)/N, b = 1, a = 0
    for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        double x = (double) i / N; // x = ti = a+(b-a)*i/N = i/N
        pi += dt / (1.0 + x * x); // integrate 1/(1+x^2), i = 0....N
    }
    return pi * 4.0;
}

AVX SIMD 版本

AVX (Advanced Vector Extensions) 是 Intel 一套用來作 Single Instruction Multiple Data 的指令集

128 位 SIMD 暫存器 xmm0 - xmm15 擴展為 256 位的 ymm0 - ymm15 暫存器
支持 256 位的向量運算，由原來 128 位擴展為 256 位
指令可支持最多 4 個 operand，實現目標操作數無需損毀原來的內容
引進新的 AVX 指令，非 Legacy SSE 指令移植
新增 FMA 指令子集 (fused multiply-add/subtract 類運算)
- 可用$ cat /proc/cpuinfo | grep flags 尋找是否存在 fma關鍵字
- 像是Intel(R) Core(TM) i5-3317U CPU 等級的電腦就沒支援，這樣的話可用模擬器
引進新的指令編碼模式，使用 VEX prefix 來設計指令編碼

__m256d 並不是一種暫存器，是指可以用來載入到 AVX 暫存器的 "Data type"

後面程式中用到了__attribute__機制，可以用來設置函數屬性（Function Attribute）、變數屬性（Variable Attribute）和類型屬性（Type Attribute）。aligned 則規定變數或結構的最小對齊格式，以 Byte 為單位。

AVX SIMD + Unroll looping

source 為何 AVX SIMD 的版本沒辦法達到預期 4x 效能提昇呢？

因為浮點 scalar 除法和 vector 除法的延遲，導致沒辦法有效率的執行。考慮到填充 vector instruction 的 pipeline 未能充分使用，我們可以預先展開迴圈，以便使用更多的 scalar 暫存器，從而減少資料相依性。

for (int i = 0; i <= dt - 4; i += 4) {
    ymm3 = _mm256_set1_pd(i * delta);
    ymm3 = _mm256_add_pd(ymm3, ymm2);
    ymm3 = _mm256_mul_pd(ymm3, ymm3);
    ymm3 = _mm256_add_pd(ymm0, ymm3);
    ymm3 = _mm256_div_pd(ymm1, ymm3);
    ymm4 = _mm256_add_pd(ymm4, ymm3);
}

可以看到 ymm3 有很強的相依性，而且看起來無法在縮得更小了。

嘗試使用更多的 AVX 暫存器來作 unroll looping 的優化，從原本的 ymm0～ymm4，增加到 ymm0～ymm14。但這種寫法的缺點就是程式碼遍得很龐大，而且不易閱讀。實驗結果在最下面。

OpenMP 版本

除了AVX SIMD 版本外，也使用 OpenMP 對的 for 迴圈作平行處理，而為了使編譯器能後成功的將順序執行轉為平行執行，運行系統必須確定循環的次數，因此 for 迴圈內不可以包含讓迴圈提前退出的關鍵字，例如 break、return、exit、goto，不過允許 continue 的存在。

以下是 openmp 語法，大概長這樣。詳情可參閱最後面的參考資料

#pragma omp <directive> [clause]

對於簡單的 for 迴圈的平行處理例子：

#pragma omp parallel for
for (int i = 0; i < 10; ++i)
    test(i);

不過因為這個式子pi += dt / (1.0 + x * x);的存在，每次迭代都會讀取 pi 值並更新 pi 值，不同次的迴圈中並不相互獨立。因此不能簡單加上#pragma omp parallel for 就好，還要作些處理。

可以使用 atmoic、critical，防止變數同時被多個執行緒修改，但速度就會慢上許多，因為一次只允許一個執行續進行存取。
針對這種情境，可以使用 reduction。語法如下

reduction(<op>:<variable>)

支援的運算元有 +, , –, &, ^, |, &&, ||，它讓各個執行緒針對指定的變數擁有一份有起始值的複本（起始值是運算元而定，像 +, – 的話就是 0， 就是 1），平行化計算時，以各自複本做運算，等到最後再以指定的運算元，將各執行緒的複本合在一起。

#pragma omp parallel num_threads(omp_get_max_threads()) 
{
    #pragma omp for private(x) reduction(+:pi)
    for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        x = (double) i / N;
        pi += dt / (1.0 + x * x);
    }
    return pi * 4.0;    
}

結果與分析

注意 Makefile 裡頭有 -fopenmp -mavx，指定開啟 OpenMP 和 AVX
- CFLAGS = -O0 -std=gnu99 -Wall -fopenmp -mavx
取得原始程式碼並編譯:

$ git clone https://github.com/sysprog21/compute-pi
$ cd compute-pi
$ make check

使用 clock_gettime() 來測量不同實做的執行時間
- 需要等待，保持耐心！

$ make gencsv

之後可用 LibreOffice 建立圖表，如下所示：

時間處理與 time 函式使用

兩種不同的測量時間的函式，一個是 clock()，另一個則是 clock_gettime()，而在圖表上也呈現了兩種截然不同的結果。

進入實驗討論前，先了解一下時間觀念和如何使用 C 語言進行時間處理。畢竟要作 Performance Benchmarking，沒有正確使用 time 函式，可能就會導致錯誤的結果和結論。

撰寫時間量測程式前，先評估情況，問問自己幾個問題：

使用什麼 clock 測量？(Real, User, System, Wall-clock....?)
clock 的精確度？(s, ms, µs, or faster ?)
需要多久時間你的 clock 會 wrap around？有什麼方法可以避免或處理？
clock 是不是 monotonic (單調遞增)？還是會隨著系統時間改變 (NTP, time zone, daylight savings time, by the user...?)
使用的函式使否已經過時、或不是標準函式庫？

Wall-clock time vs. CPU time

通常我們在計算一個程序的 "Duration time"，常常有可能是以下兩個意思，一個是「Wall-clock time」，另一個則是「CPU time」，根據不同的情況和需求來選擇使用哪一個當作衡量標準。

1. Wall-clock time 顧名思義就是掛鐘時間，也就是現實世界中實際經過的時間，是由 kernel 裡的 xtime 來紀錄，系統每次啟動時會先從設備上的 RTC 上讀入 xtime。

struct timespec xtime __attribute__ ((aligned (16)));
struct timespec {
    __kernel_time_t tv_sec; /* seconds */
    long tv_nsec;           /* nanoseconds */
};

這個值是自 1970-01-01 起經歷的秒數，另外 Linux 核心也會決定每秒要發生幾次中斷 (透過常數 HZ) ，每次 timer interrupt，就會去更新 xtime。

許多說明文件或問答網站常將 System time 和真實世界的 Wall-clock time 混用，System time 是指系統上的時間，開機時它會讀取 RTC 來設定，可能過程中還會有時區換算等之類的設置。一般說來 System time 就是我們執行 date 命令看到的時間，Linux 系統下所有的時間調用都是使用這個 (除非直接存取 RTC)。然後 Kernel 會有個全域變數 Jiffies 來紀錄系統開幾以來，經過多少個 tick。每發生一次 timer interrupt，jiffies 會加 1 ( xtime 和 jiffies 很相似，但其實完全不一樣，可參閱容易混淆 LINUX 時鐘的 xtime 和 jiffies )。

另外注意，有時系統要與網絡中某個節點時間同步，那這個 Wall-clock time 可能會和 NTP 伺服器、時區、日光節約時間同步或使用者自己調整。所以「通常」不建議拿來量測程式時間，因為它不是一個穩定的時間，用專業一點的用語講，Wall-clock time 不一定是單調遞增 (monotonic)。

不過在這裡因為量測過程中沒有涉及到 NTP、時區改變之類的問題，Wall-clock time 是單調遞增，所以在電腦上所經過的 system time (elapsed time) 基本上會等於真實走過的時間。

2. CPU time 指的是程序在 CPU 上面運行消耗 (佔用) 的時間，clock() 就是很典型用來計算 CPU time 的時間函式，但要注意的是，如果有多條 threads，那 CPU time 算的是「每條 thread 的使用時間加總」，所以如果我們發現 CPU time 竟然比 Wall-clock time 還大！這可能是個很重要的原因。

另外很多時候只計算 CPU time 是不夠的，因為執行時間可能還包括 I/O time、 communication channel delay、synchronization overhead....等等。

Real time , User CPU time , System CPU time ( Linux 的 time 指令 )

在今日的 UNIX 系統內事實上存在兩個 time 指令，一個是系統所提供的 /usr/bin/time，這個 time 指令是 System V 版本所提供的工具，這是為了 Bourne shell 使用者所寫的工具；而另一個則是 C shell 內建指令 time。

$ time 會報告實際時間，也就是程式從開始到結束的經歷時間，另外還會計算程式使用處理器時間量。

real time : 也就是 Wall-clock time，當然若有其他程式同時在執行，必定會影響到。
user time : 表示程式在 user mode 佔用所有的 CPU time 總和。
sys time : 表示程式在 kernel mode 佔用所有的 CPU time 總和 ( 直接或間接的系統呼叫 )。

在單一處理器的情況下，可以使用 real - (user + sys) 來計算 Wall-clock time 與 CPU time 的差異。可以理解「所有」可以延遲程式的因子的總和。在 SMP 底下可以近似成 (real * 處理器數目) - (user + sys)。而這些因子可能是:

將文字或資料輸程式所需的 I/O ( 如 Network I/O, Disk I/O....)
取得實際記憶體供程式使用所需的 I/O
其他程式所使用的 CPU 的時間
作業系統所使用的 CPU 的時間

CPU bound 與 I/O bound

所謂 CPU bound，指的是程序需要大量的 CPU computation (對 CPU time 需求量大)，相比之下僅需少量的 I/O operation，效能取決於 CPU 速度。

所謂 I/O bound，需要大量 I/O operation (I/O request 的頻率很高或一次 I/O request 成本很高)，但僅需少量的 CPU computation，效能取決於 I/O device 速度。

很多時候我們可以使用 time 判斷程式是 CPU bound 還是 I/O bound。

real < user: 表示程式是 CPU bound，使用平行處理有得到好處，效能有提昇。
real ≒ user: 表示程式是 CPU bound，即使使用平行處理，效能也沒有明顯提昇，常見的原因有可能是其實計算量沒有很大，生成、處理、結束多執行緒的 overhead 吃掉所有平行處理的好處，或是程式相依性太高，不適合拿來作平行處理。
real > user: 表示程式是 I/O bound，成本大部分為 I/O操作，使得平行處理無法帶來顯著的效能提昇 ( 或沒有提昇)。

延伸思考:

clock(), clock_gettime() 的使用
time(), gettimeofday() 的使用
為什麼 clock_gettime() 結果飄忽不定？
為什麼 time() 和 gettimeofday() 不適合拿來作 benchmark ?

作業要求

在 GitHub 上 fork compute-pi，嘗試重現實驗，包含分析輸出
- 注意: 要增加圓周率計算過程中迭代的數量，否則時間太短就看不出差異
詳閱廖健富提供的詳盡分析，研究 error rate 的計算，以及為何思考我們該留意後者
用 phonebok 提到的 gnuplot 作為 $ make gencsv 以外的輸出機制，預期執行 $ make plot 後，可透過 gnuplot 產生前述多種實做的效能分析比較圖表
可善用 rayatracing 提到的 OpenMP, software pipelining, 以及 loop unrolling 一類的技巧來加速程式運作
詳閱前方 "Wall-clock time vs. CPU time"，思考如何精準計算時間
除了研究程式以外，請證明 Leibniz formula for π，並且找出其他計算圓周率的方法
- 請詳閱許元傑的共筆
將你的觀察、分析，以及各式效能改善過程，並善用 gnuplot 製圖，紀錄於「作業區」

參考資料

Intel AVX Official Document
How do I achieve the theoretical maximum of 4 FLOPs per cycle? [Stackoverflow]
nanoant / flops , Mysticial / Flops [GitHub]
MPI與OpenMP並行程序設計：C語言版 [PDF]
Common Variable Attributes [gcc.gnu.org]
時間處理與 time 函式使用
- Measure time in Linux - getrusage vs clock_gettime vs clock vs gettimeofday? [Stackoverflow]
- Timer Interrupt [Openfoundry]
- Wall clock time [Whatis.com]
- Why real time can be lower than user time [stackexchange]
- Why is clock_gettime so erratic? [Stackoverflow]
- gettimeofday() should never be used to measure time
- 效能管理 [IBM Knowledge Center]
- linux 系統時間和硬件時鐘問題 ( date 和 hwclock )
- linux 牆上時間 xtime 與高精度時鐘 gettimeofday

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時間處理與 time 函式使用

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操作系统思考

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